Principio Eléctrico y aplicaciones Digitales

Método gráfico para simplificación de funciones que resuelve todos estos problemas: El método de
Karnaugh. Con este método la simplificación adquiere las siguientes ventajas con respecto al método algebraico: o Para funciones de tres y cuatro variables se aplica de forma muy sencilla. Para cinco variables puede resultar algo más difícil, y para más… existen otros métodos.
o No se escriben las expresiones de los productos de las variables, se trabaja directamente sobre un
diagrama, por lo que se gana considerablemente en claridad.
o Con un poco de soltura (adquirida mediante un poco de práctica), resulta muy sencillo hallar siempre la expresión más óptima de la función. Es por todos estos motivos que el método de Karnaugh sea amplia mente utilizado para sistemas de tres y cuatro
variables.
El método de Karnaugh es un método gráfico. Se usan unas tablas llamadas tablas o diagramas de Karnaugh. Dichas tablas tienen una casilla por cada combinación de variables de la función, de forma que para 3 variables

tendremos 23 = 8 casillas, para cuatro variables tendremos 24 = 16 casillas.

Nótese que el orden de las combinaciones no es binario natural si no que es código Gray (00, 01, 11, 10) esto es debido a que el funcionamiento del método se basa en combinaciones adyacentes.
Una vez dibujado el diagrama, se trasladan a éste las combinaciones de la tabla de la verdad poniendo un 1 en la casilla correspondiente.

Dada la siguiente función algebraica Booleana representada como el sumatorio de sus minitérminos, y con las variables Booleanas

A

B

C

D

, la función se puede representar con dos notaciones distintas:

$f(A,B,C,D)=\sum _{}(6,8,9,10,11,12,13,14)$
$f(A,B,C,D)=({\overline {A}}BC{\overline {D}})+(A{\overline {B}}\,{\overline {C}}\,{\overline {D}})+(A{\overline {B}}\,{\overline {C}}D)+(A{\overline {B}}C{\overline {D}})+(A{\overline {B}}CD)+(AB{\overline {C}}\,{\overline {D}})+(AB{\overline {C}}D)+(ABC{\overline {D}})$

Tabla de verdad

Utilizando los Minterm definidos, se elabora la tabla de verdad:

#	$A$	$B$	$C$	$D$	$f(A,B,C,D)$
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0
2	0	0	1	0	0
3	0	0	1	1	0
4	0	1	0	0	0
5	0	1	0	1	0
6	0	1	1	0	1
7	0	1	1	1	0
8	1	0	0	0	1
9	1	0	0	1	1
10	1	0	1	0	1
11	1	0	1	1	1
12	1	1	0	0	1
13	1	1	0	1	1
14	1	1	1	0	1
15	1	1	1	1	0

Las variables de entrada pueden combinarse de 16 formas diferentes, por lo que el mapa de Karnaugh tendrá 16 celdas, distribuidas en una cuadrícula de 4 × 4.

La combinación de dígitos binarios en el mapa representa el resultado de la función por cada combinación de entradas. Por ejemplo, la celda en la esquina superior izquierda del mapa es 0, porque el resultado de la función es ƒ = 0 cuando A = 0, B = 0, C = 0, D = 0. De igual manera, la esquina inferior derecha es 10 porque el resultado de la función es ƒ = 10 cuando A = 1, B = 0, C = 1, D = 0.

Una vez construido el mapa de Karnaugh, la siguiente tarea es la de seleccionar conjunto de términos denominados subcubos de manera que se obtenga el menor número de subcubos posible. Estos subcubos se seleccionan formando grupos de rectángulos que encierren a los unos del mapa, las áreas deben ser potencia de 2 (ej. 1, 2, 4, 8, ...) y se debe tratar de agrupar el mayor número de unos posible. En resumen hay que tomar en cuenta al hacer estos grupos de unos (subcubos) lo siguiente:

Debemos utilizar todos los unos del mapa.
Es mejor crear el menor número de grupos.
Los unos pueden estar en varios grupos.
El número de unos dentro de un grupo debe ser cualquier potencia de 2.
Cuanto más grande sea un grupo, la simplificación de la función será mejor.
No es necesario que todos los grupos tengan el mismo tamaño.

Qué términos seleccionar va dependiendo de cómo se quiera realizar la simplificación, puesto que esta puede realizarse por minitérminos o por maxitérminos.